Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (9)

Geometrische Konstruktion Nr. 29 bis 34:
Hier folgt eine Reihe von sechs Konstruktionen, die eine systematische Entwicklung der Hofstetter'schen Konstruktion Nr. 7 darstellen. Hans Walser (Hans Walser: The Golden Section and Lattice Geometry) hat gezeigt, daß sich mit einer gewissen Systematik ähnliche Konstruktionen anhand eines Rasters gewinnen lassen. Zur Gewinnung zweier Kreisradien muß n und 5n jeweils eine Differenz zweier Quadratzahlen sein. Die Wurzel der jeweils größeren Quadratzahl gibt den Radius der beiden benötigten Kreistypen. Im Beispiel der Konstruktion Nr. 7 wäre n = 3 mit 3 = 4 - 1 sowie 5n = 15 = 16 - 1. Die gesuchten Radien sind damit 2 und 4, wie aus der entsprechenden Abbildung nachzuvollziehen. Aus den Beweisen wird auch klar, warum 5n eine Rolle spielt: Man muß eine zu berechnende Kathete immer als Produkt aus der Wurzel aus fünf und einer anderen Wurzel darstellen, die identisch mit der anderen zu berechnenden Kathete ist. Die Kreise sind im folgenden auf ein Gitternetz gelegt, dessen Linienabstand jeweils 2 ist.

Geometrische Konstruktion Nr. 29 (nach Hans Walser: The Golden Section and Lattice Geometry)
Analog ließe sich mit n = 4 folgende Konstruktion aufbauen: n = 4 = 4 - 0 und 5n = 20 = 36 - 16, die gesuchten Radien sind 2 und 6. Der Goldene Schnitt ergibt sich nach Walser wie folgt:

Beweis: Die eine Teilstrecke ist durch den Radius des kleineren Kreises definiert, die andere Teilstrecke wird über den bewährten Pythagoras mit dem bekannten Radius und dem definierten Abstand des linearen Rasters gewonnen, beide werden in Beziehung zueinander gesetzt:

Geometrische Konstruktion Nr. 30
Genauso ließe sich mit n = 5 folgende Konstruktion aufbauen: n = 5 = 9 - 4 und 5n = 25 = 25 - 0, die gesuchten Radien sind 3 und 5. Der Goldene Schnitt ergibt sich in Analogie zu Walsers Beispielen wie folgt:

Beweis: Die eine Teilstrecke ist durch den Radius des größeren Kreises definiert, die andere Teilstrecke wird über den bewährten Pythagoras mit dem bekannten Radius und dem definierten Abstand der Kreise im linearen Raster gewonnen, beide werden in Beziehung zueinander gesetzt:

Für n = 5 gibt es noch eine weitere Lösung, die als Konstruktion 33 besprochen wird (siehe dort).

Geometrische Konstruktion Nr. 31 (nach Hans Walser: The Golden Section and Lattice Geometry)
Nach diesen beiden Beispielen, in denen jeweils eine Teilstrecke trivial war, kommen nun Beispiele, in denen beide Teilstrecken über den Satz des Pythagoras gewonnen werden. Spielen wir das noch für n = 7 durch: n = 7 = 16 - 9, 5n = 35 = 36 - 1, die gesuchten Radien sind die Wurzeln der jeweils ersten Quadratzahl, und damit erhalten wir r1 = 4 sowie r2 = 6. Die Konstruktion sieht wie folgt aus:

Beweis: Alle benötigten Teilstrecken werden über zweimal Pythagoras mit den bekannten Radien und den definierten Abständen des linearen Rasters gewonnen und in Beziehung zueinander gesetzt.

Einführung
Geometrische Konstruktionen (1) - Geometrische Konstruktionen (2)
Geometrische Konstruktionen (3) - Geometrische Konstruktionen (4)
Geometrische Konstruktionen (5) - Geometrische Konstruktionen (6)
Geometrische Konstruktionen (7) - Geometrische Konstruktionen (8)
Geometrische Konstruktionen (9) - Geometrische Konstruktionen (10)
Fünfecke, Zehnecke, Ikosaeder und der Goldene Schnitt
Mathematik des Goldenen Schnittes
Die Zahl des geometrischen Wachstums bzw. der geometrischen Teilung
Immer schön kritisch bleiben!
Der Goldene Schnitt in der konkreten Kunst - Beispiele von Jo Niemeyer
Land Art mit dem Goldenen Schnitt
Literatur, Links, Quellen

Home

© Text und Graphik: Bernhard Peter 2006