Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (1)

Geometrische Konstruktion Nr. 1:
Konstruktion von Heron von Alexandrien. Die Strecke AB soll geteilt werden. Dazu errichtet man eine Senkrechte in B mit der halben Länge der zu teilenden Strecke. Vom Endpunkt C schlägt man einen Kreis mit dem Radius der soeben gezeichneten Senkrechten BC. Diese schneidet die Verbindungslinie AC in Punkt D. Der Abstand dieses Schnittpunktes D zu A gibt den Radius eines zweiten Kreises vor, der um A geschlagen wird und die ursprüngliche Stecke AB = a in E schneidet (innere Teilung, eine bestehende Strecke wird in Major und minor geteilt). Die Teilstücke b und c bzw. AE und EB sowie die Stecken b und a bzw. AE und AB stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander.

mit c/b = b/a = a/g = g

mit

Geometrische Konstruktion Nr. 2:
Klassische Konstruktion von Euklid. Die Strecke AB soll geteilt werden. Dazu errichtet man eine Senkrechte in A mit der halben Länge der zu teilenden Strecke AB. Um den entstandenen Endpunkt C wird ein Kreis mit dem Radius BC geschlagen. Im Schnittpunkt aus diesem Kreis und den Verlängerung der Strecke CA entsteht ein neuer Punkt D. Die Strecke AD wird mit dem Zirkel auf die Strecke AB abgetragen (Punkt E).

Es gilt: AC = 1/2 AB und BC = CD sowie AD = AE

EB/AE = AE/AB

Geometrische Konstruktion Nr. 3:
Die Strecke AE soll im Verhältnis des Goldenen Schnittes verlängert werden. Über der Strecke AE wird ein Quadrat errichtet. Von F, der Mitte der Seitenlänge des Quadrates AECD, wird ein Kreis durch die Eckpunkte des Quadrates C und D geschlagen. Wo der Kreis die Verlängerung der Grundlinie AE schneidet, entstehen neue Punkte, B und G. Die ursprüngliche Strecke AE teilt die beiden Strecken AB bzw. EG im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Es handelt sich um eine äußere Teilung (die bestehende Teilstrecke ist Major oder minor der zu konstruierenden Gesamtstrecke).

AE = EC = CD = DA, AF = 1/2 AE = EF, FC = FD = FB = FG

EB/AE = AE/AB = AG/AE = AE/EG

Geometrische Konstruktion Nr. 4:
Hier eine Konstruktion ganz alleine mit dem Zirkel: Die Strecke AB = a soll geteilt werden (innere Teilung). Dazu wird um A ein Kreis mit dem Radius a geschlagen. Mit dem Zirkel wird der Radius a wie bei der Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks ringsum mehrfach abgetragen, so daß man die Punkte C, D, E und F (sowie H) erhält. Die Verbindungslinie DF teilt die Strecke AE in ihrer Mitte, genannt M. Die Verbindungslinie DF gibt den Radius für zwei neue Abtragungen mit dem Zirkel vor: Die Strecke DF wird einmal um E und einmal um B abgetragen, der Schnittpunkt beider Kreise ergibt den Punkt G. Die drei Punkte A, B und G bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke GA, die längere Kathete des besagten Dreiecks, wird von den Punkten D und F jeweils mit dem Zirkel abgetragen. Der Schnittpunkt teilt die Strecke a = AB im Punkt S. Der Punkt S teilt die Strecke AB = a in die Abschnitte b und c, wobei b und c sowie a und b im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

Geometrische Konstruktion Nr. 5:
Eine ganz neue Konstruktion von George Odom, erst 1982 entdeckt: Ausgangsfigur ist ein gleichseitiges Dreieck XYZ. Die Seitenlänge des Dreiecks sei 2x. Um den Mittelpunkt des Dreiecks wird ein Kreis durch die drei Eckpunkte x, Y und Z geschlagen. Eine Mittelparallele AE zur Kante XY teile die Kanten XZ und YZ jeweils in ihrer Mitte, also in A bzw. E. Die Länge der Mittelparallele ist x. Die Mittelparallele wird beiderseits nach außen verlängert. Der Schnittpunkt derselben mit dem Kreis ergibt die Punkte B und C. Der Punkt E teilt die Strecke AB im Goldenen Schnitt, der Punkt A desgleichen die Strecke CE. Auch dies eine äußere Teilung. Man beachte die Nähe zu Varianten der Konstruktion 16 und insbesondere auch Konstruktion 17.

Geometrische Konstruktion Nr. 6:
Mit der sog. Wurzelschnecke läßt sich der Goldene Schnitt ebenfalls abtragen: Die Strecke AB soll geteilt werden (innere Teilung). Dazu trägt man an einer beliebigen Gerade durch A 1 plus Wurzel aus 5 ab und erhält C. An einer Parallelen zu dieser Gerade durch B trägt man in Gegenrichtung 2 ab und erhält D. Die Verbindungslinie durch die neuen Punkte C und D schneidet die Strecke AB in E, im Goldenen Schnitt.

Einführung
Geometrische Konstruktionen (1) - Geometrische Konstruktionen (2)
Geometrische Konstruktionen (3) - Geometrische Konstruktionen (4)
Geometrische Konstruktionen (5) - Geometrische Konstruktionen (6)
Geometrische Konstruktionen (7) - Geometrische Konstruktionen (8)
Geometrische Konstruktionen (9) - Geometrische Konstruktionen (10)
Fünfecke, Zehnecke, Ikosaeder und der Goldene Schnitt
Mathematik des Goldenen Schnittes
Die Zahl des geometrischen Wachstums bzw. der geometrischen Teilung
Immer schön kritisch bleiben!
Der Goldene Schnitt in der konkreten Kunst - Beispiele von Jo Niemeyer
Land Art mit dem Goldenen Schnitt
Literatur, Links, Quellen

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© Text und Graphik: Bernhard Peter 2004-2005