Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Mathematik

Der Zahlenwert der harmonischen Teilung:

Aus a/b = b/c mit c=a+b folgt a = 0.61803 b

Die jeweils kleinere Strecke beträgt also immer 61.8 % der größeren Strecke.

Numerisch ist dieser Wert also 1.618034, oder invers 0.618034. Beachte, daß die Differenz dieser Werte genau 1 beträgt!

Also verhalten sich mehrere Strecken wie z. B.:

0.61803 - 1 - 1.61803 - 2.61802 - 4.23604 - 6.854034 bzw. wie

Eine irrationale Zahl, die als Zahlenwert so aussähe: j = 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286......

Oder als einfache Formel:

Der Goldene Schnitt: Der Grenzwert der Fibonacci-Reihen:

Fibonacci-Reihe: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....

Näherungsfolge: 1/1, ½, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, ..... Endwert: 0.618

Das gilt für jede Näherungsfolge der Teilung nach dem Schema:

Z' = N, N' = Z+N

100/1, 1/102, 102/102, 102/203, 203/305, 305/508, ......... Endwert: 0.618

1/100, 100/101, 101/201, 201/302, 302/508, 508/810, ..... Endwert: 0.618

Analog ist der Goldene Schnitt das Prinzip des Wachstums nach der Regel:

Z' = Z+N, N' = Z':

Näherungsfolge: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ... Endwert: 1.618

Das gilt für jede Näherungsfolge nach dem Schema Z' = Z+N, N' = Z'

1/100, 101/1, 102/101, 203/102, 305/203, 508/305, ..... Endwert: 1.618

100/1, 101/100, 201/101, 302/201, 508/302, 810/508, ..... Endwert: 1.618

Die ersten zwei Zahlen können beliebig sein, es muß nur das Bildungsgesetz eingehalten werden. Der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Grenzwert j

Eine andere nichtrekursive Formel zeigt bereits optisch den direkten Zusammenhang der n-ten Fibonaccizahl mit dem Goldenen Schnitt.

denn der Goldene Schnitt ist

Der Goldene Schnitt als Lösung der einfachsten quadratischen Gleichung mit nichtkomplexen Lösungen

ax^2 + bx + c = 0 Lösungen:

1 1 1 komplex

1 1 -1 -1.61803 +0.618034

1 -1 1 komplex

1 -1 -1 +1.61803 -0.618034

Oder einfacher ausgedrückt, der Goldene Schnitt ist die Lösung der quadratischen Gleichung: x^2 – x – 1 = 0

Was das Äquivalent darstellt zur Gleichung: 1/x = x - 1

Und genau diese Darstellung erklärt den oben erwähnten genauen Unterschied von Eins.

Hier eine graphische Anwendung als Beispiel: Wenn in einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck der Punkt C so gewählt wird, daß die kleinere Kathete a genauso lang ist wie der längere Hypotenusenabschnitt d, der durch das Lot von C auf die Hypotenuse erzeugt wird, so teilt das Lot die Hypotenuse im Goldenen Schnitt.

Noch eine besonders hübsche Darstellung:

Das eimalig einfache Muster dieses Kettenbruches ist der Harmonie des Goldenen Schnittes wahrlich angemessen. Ein sparsamer Mathematiker würde die weniger schöne Schreibweise F = [1,1,1,1,1, ...] wählen.

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