Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Mathematik

Der Zahlenwert der harmonischen Teilung:

Aus a/b = b/c mit c=a+b   folgt  a = 0.61803 b

Die jeweils kleinere Strecke beträgt also immer 61.8 % der größeren Strecke.

Numerisch ist dieser Wert also 1.618034, oder invers 0.618034. Beachte, daß die Differenz dieser Werte genau 1 beträgt!

Also verhalten sich mehrere Strecken wie z. B.:

0.61803 - 1 - 1.61803 - 2.61802 - 4.23604 - 6.854034 bzw. wie 

Eine irrationale Zahl, die als Zahlenwert so aussähe: j = 1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286......

Oder als einfache Formel:                 

 

Der Goldene Schnitt: Der Grenzwert der Fibonacci-Reihen:

Fibonacci-Reihe:   1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....

Näherungsfolge:    1/1, ½, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, .....  Endwert: 0.618

Das gilt für jede Näherungsfolge der Teilung nach dem Schema:

Z' = N, N' = Z+N

100/1, 1/102, 102/102, 102/203, 203/305, 305/508, .........  Endwert: 0.618

1/100, 100/101, 101/201, 201/302, 302/508, 508/810, .....   Endwert: 0.618

 

Analog ist der Goldene Schnitt das Prinzip des Wachstums nach der Regel:

Z' = Z+N, N' = Z':

Näherungsfolge:    1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, ...  Endwert: 1.618

Das gilt für jede Näherungsfolge nach dem Schema Z' = Z+N, N' = Z'

1/100, 101/1, 102/101, 203/102, 305/203, 508/305, ..... Endwert: 1.618

100/1, 101/100, 201/101, 302/201, 508/302, 810/508, ..... Endwert: 1.618

Die ersten zwei Zahlen können beliebig sein, es muß nur das Bildungsgesetz eingehalten werden. Der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Grenzwert j

Eine andere nichtrekursive Formel zeigt bereits optisch den direkten Zusammenhang der n-ten Fibonaccizahl mit dem Goldenen Schnitt.

denn der Goldene Schnitt ist    

 

Der Goldene Schnitt als Lösung der einfachsten quadratischen Gleichung mit nichtkomplexen Lösungen

ax^2   +       bx      +       c     =      0             Lösungen:

1                 1                 1                          komplex

1                 1                -1                -1.61803      +0.618034

1                -1                1                          komplex

1                -1               -1                +1.61803     -0.618034

Oder einfacher ausgedrückt, der Goldene Schnitt ist die Lösung der quadratischen Gleichung: x^2 – x – 1 = 0

Was das Äquivalent darstellt zur Gleichung: 1/x = x - 1

Und genau diese Darstellung erklärt den oben erwähnten genauen Unterschied von Eins.

Hier eine graphische Anwendung als Beispiel: Wenn in einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck der Punkt C so gewählt wird, daß die kleinere Kathete a genauso lang ist wie der längere Hypotenusenabschnitt d, der durch das Lot von C auf die Hypotenuse erzeugt wird, so teilt das Lot die Hypotenuse im Goldenen Schnitt.

Noch eine besonders hübsche Darstellung:

Das eimalig einfache Muster dieses Kettenbruches ist der Harmonie des Goldenen Schnittes wahrlich angemessen. Ein sparsamer Mathematiker würde die weniger schöne Schreibweise F = [1,1,1,1,1, ...] wählen.

Einführung
Geometrische Konstruktionen (1) - Geometrische Konstruktionen (2)
Geometrische Konstruktionen (3) - Geometrische Konstruktionen (4)
Geometrische Konstruktionen (5) - Geometrische Konstruktionen (6)
Geometrische Konstruktionen (7) - Geometrische Konstruktionen (8)
Geometrische Konstruktionen (9) - Geometrische Konstruktionen (10)
Fünfecke, Zehnecke, Ikosaeder und der Goldene Schnitt
Mathematik des Goldenen Schnittes
Die Zahl des geometrischen Wachstums bzw. der geometrischen Teilung
Immer schön kritisch bleiben!
Der Goldene Schnitt in der konkreten Kunst - Beispiele von Jo Niemeyer
Land Art mit dem Goldenen Schnitt
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